O bióloga escocês D'Arcy Thompson [1860 -1948] foi pioneira no estudo de padrões de crescimento em plantas e animais, mostrando que equações simples poderiam explicar o crescimento em espiral. Thompson explicou as formas do corpo dos animais como sendo criadas por diferentes taxas de crescimento em diferentes direções, sendo o caso das conchas em espiral o mais conhecido. E Alan Turing previu corretamente um mecanismo de morfogénese, a difusão de dois sinais químicos diferentes, um ativando e outro desativando o crescimento, para estabelecer padrões de desenvolvimento. Mais tarde o biólogo matemático James Murray descreveu um mecanismo que cria espontaneamente padrões de manchas ou listas: um sistema de reação-difusão. As células de um organismo jovem têm genes que podem ser ativados por um sinal químico, resultando no crescimento de um certo tipo de estrutura, como um pedaço de pele com pigmentos escuros. O resultado é uma pigmentação uniforme, como o leopardo. Mas se for distribuído de maneira desigual, poderão ocorrer manchas ou listas. Turing sugeriu que poderia haver mecanismos de feedback na produção do próprio morfogénio. Isso pode causar flutuações contínuas na quantidade do morfogénio à medida que se difunde pelo corpo. Um segundo mecanismo é necessário para criar padrões de ondas estacionárias (resultando em manchas ou listas): um produto químico inibidor que desliga a produção do morfogénio, e que se difunde pelo corpo mais rapidamente que o morfogénio, resultando no tal esquema de ativador-inibidor. A reação de Belousov - Zhabotinsky, é um exemplo não biológico desse tipo de esquema: um oscilador químico.
A compreensão mais completa dos mecanismos envolvidos nos organismos reais exigiu a descoberta da estrutura do ADN em 1953 e o desenvolvimento da biologia molecular e bioquímica. Os genes ativam e desativam o desenvolvimento em horários e locais precisos que são os recetores específicos de proteínas. Durante o desenvolvimento embrionário, as células são restritas a diferentes camadas devido a afinidades diferenciais. Uma das maneiras pelas quais isso pode ocorrer é quando as células compartilham as mesmas moléculas de adesão célula a célula . Por exemplo, a adesão celular homotípica pode manter limites entre grupos de células que possuem diferentes moléculas de adesão. Além disso, as células podem ser classificadas com base nas diferenças de adesão entre as células, de modo que até duas populações de células com níveis diferentes da mesma molécula de adesão podem ser classificadas. A matriz extracelular mantém os tecidos separados, fornecendo suporte estrutural ou fornecendo uma estrutura para a migração das células. Os tecidos podem mudar de forma e separar-se em camadas distintas pela contractilidade celular. Nas células musculares, a miosina pode contrair diferentes partes do citoplasma para mudar a sua forma ou estrutura. A contratilidade controlada pela miosina na morfogénese do tecido embrionário é observada durante a separação das camadas germinativas. Frequentemente, existem pulsos de contração periódicos na morfogénese embrionária. Um modelo chamado divisor de estado celular envolve contracção e expansão celular alternadas, iniciadas por uma organela biestável na extremidade apical de cada célula.
Portanto, a Natureza apresenta regularidades visíveis da forma, designadas por padrões: simetrias; árvores; espirais; meandros; ondas; espumas; mosaicos; listas e rachaduras. As leis da física aplicam as abstrações da matemática ao mundo real, muitas vezes como se fossem perfeitas. A perfeição matemática exata pode apenas aproximar objetos reais. Naturalmente esses padrões visíveis na natureza são governados por leis físicas. Em biologia a seleção natural pode causar o desenvolvimento de padrões nos seres vivos, que nós os explicamos teleologicamente: ora por motivos de camuflagem para não serem vistos por predadores; ora para aumentar a visibilidade por motivos de atração sexual. Nas flores as formas e as cores evoluíram para atrair insetos, como as abelhas. Padrões radiais de cores e listas, alguns visíveis apenas na luz ultravioleta, servem como guias para serem vistas à distância.
A simetria é muito difundida nos seres vivos, animais e plantas, bilateral ou espelhada, radial ou rotacional. Na "natureza não viva", por exemplo, os flocos de neve têm uma simetria seis vezes maior. A estrutura de cada floco regista as diferentes condições durante a cristalização, com quase o mesmo padrão de crescimento em cada um dos seis braços. A simetria tem uma variedade de causas. A simetria radial combina com organismos como anemonas. Mas os animais que se movem numa direção necessariamente têm lados superior e inferior, cabeça e cauda e, portanto, esquerda e direita. A cabeça se especializa na boca e nos órgãos dos sentidos (cefalização), e o corpo se torna simétrico bilateralmente (embora os órgãos internos não sejam. O padrão de ramificação em árvore já havia sido descrito por Leonardo da Vinci. Todos os galhos de uma árvore em todas as fases da sua altura, quando reunidos, têm espessura igual à do tronco abaixo deles. Uma versão mais geral afirma que, quando um ramo pai se divide em dois ou mais ramos filhos, a soma da área de superfície dos ramos filhos iguala a do ramo pai. Uma explicação é que isso permite que as árvores suportem melhor os ventos fortes. Simulações de modelos biomecânicos corroboram essa regra.
Na natureza os padrões fractais existem em abundância, mas apesar de ser possível por computação construções matemáticas iteradas de dimensão fractal, na natureza a iteração infinita não é possível; portanto, todos os padrões de 'fractal' são apenas aproximados. Por exemplo, as folhas de samambaias e umbelíferos são apenas auto-similares a 2, 3 ou 4 níveis. Padrões de crescimento semelhantes a samambaias ocorrem em plantas e animais, incluindo briozoários, corais, hidrozoários, bem como as redes sanguíneas. Os padrões de fractal ainda ocorrem em diversos fenómenos naturais como nuvens, margens de rios, linhas costeiras junto ao mar, ondas oceânicas, falhas geológicas, flocos de neve, e muito mais.
As espirais são comuns em plantas e em alguns animais, principalmente moluscos. Por exemplo, no nautilus, um molusco cefalópode, cada câmara da sua concha é uma cópia aproximada da próxima, dimensionada por um fator constante e disposta numa espiral logarítmica. Espirais de plantas podem ser vistas no arranjo das folhas de um caule e no arranjo de outras partes, como nas cabeças de flores e cabeças de sementes compostas como o girassol, ou na frura como o ananás, as pinhas, onde várias espirais correm no sentido horário e anti-horário. Esses arranjos têm explicações em diferentes níveis - matemática, física, química, biologia - cada um individualmente corrigido, mas todos juntos. Espirais de filotaxia podem ser geradas matematicamente a partir das relações de Fibonacci.
Na matemática, um sistema dinâmico é caótico se for altamente sensível às condições iniciais (o chamado "efeito borboleta"), que requer as propriedades matemáticas da mistura topológica e órbitas periódicas densas. Juntamente com os fractais, a teoria do caos é uma presença universalmente essencial nos padrões da natureza. Existe uma relação entre caos e fractais - os atractores estranhos nos sistemas caóticos têm uma dimensão fractal.
Os meandros são curvas sinuosas em rios ou outros canais, que se formam quando um fluido, na maioria das vezes a água, flui em torno das curvas. Assim que o caminho é ligeiramente curvo, o tamanho e a curvatura de cada loop aumentam à medida que o fluxo helicoidal arrasta material como areia e cascalho pelo rio até ao interior da curva. E as dunas em forma de crescente são produzidas pelo vento agindo na areia do deserto. O vento sopra sobre a face da areia que fica a cerca de 15 graus da horizontal, e cai na face deslizante, onde se acumula até ao ângulo de repouso da areia, que é de cerca de 35 graus. Quando a face de deslizamento excede o ângulo de repouso, dão-se as avalanches de areia, um comportamento não-linear. A adição de muitas pequenas quantidades de areia não causa grande coisa até que mais uma pequena quantidade desencadeia a grande coisa que é a avalanche.
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